偶函数关于什么对称?你知道为什么对称吗?这里来弄个明白

浏览:2929   发布时间: 09月15日

偶函数的图像是关于y轴对称的,这一点大家可能都不陌生。然而如果让你证明偶函数的图像关于y轴对称,你知道应该怎样证明吗?

当然,这是由偶函数的定义决定的。如果函数f(x)在定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么就称这个函数f(x)为偶函数。那么它怎么就关于y轴对称了呢?我们可以通过图像观察得知。然而这其实并不科学,想要确定偶函数关于y轴对称,还是需要一个合理的证明过程的。接下来老黄就给大家组织一下这个证明过程。

问题是这样的:设f(x)是定义在D上的偶函数,证明f(x)的图像关于y轴对称。

证明:记f(x)的图像为C,在C上任取一点A(-x0,f(-x0)),则-x0∈D, 根据偶函数的定义,f(-x0)=f(x0),x0∈D, 记点B(x0,f(x0)),则点B也在C上。

直线AB的解析式可表示为:y=f(x0),则AB与y轴垂直,且点A和点B到y轴的距离都是|x0|,即y轴是线段AB的垂直平分线,因此A,B关于y轴对称。

由A点的任意性可知,f(x)的图像关于y轴对称,得证!

也可以通过在图像上任取一点,根据偶函数的定义,证明这一点关于y轴的对称点也在函数的图像上,同样可以证明偶函数的图像关于y轴对称了。

从证明过程中,我们还可以发现,不仅偶函数的图像关于y轴对称,偶函数的定义域也是关于y轴对称的。这一点并不经常被强调,但它其实在解题过程中有时候是很重要的。

比如判断定义在(-2,2]上的函数f(x)=x^2是不是偶函数。单从解析式来看,它的确是偶函数,但由于它的定义域并不关于y轴对称,所以它其实并不是一个偶函数。从定义来看,f(2)=f(-2)并不成立,因为f(x)在x=-2没有定义。

另外,有时候在题目中会出现一些对称轴并不在y轴的函数,它们并不一定是偶函数。比如已知f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则此时函数f(x)关于x=a对称,仅当a=0时,它才是偶函数。

有些偶函数被隐藏得很深,比如已知定义在R上的函数f(x-1)的图像关于x=1对称,那么这个函数就是R上的偶函数。因为把函数向左平移1个单位长度,就变成了函数f(x),同时对称轴也由x=1向左平移1个单位长度,变成了y轴。

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